SUDUT DAN GARIS

A. Pengertian Sudut

Sudut adalah istilah penting dan memiliki beberapa definisi yaitu Bentuknya dibuat dengan 2 garis lurus yang bertemu pada sebuah titik. Membuat sebuah jarak pada 2 garis tersebut.

B. Jenis-Jenis Sudut

jenis-jenis sudut berdasarkan besar sudutnya.

1. Sudut lancip

Perhatikan gambar berikut.

Sudut lancip merupakan jenis sudut dengan ukuran sudut antara 0° – 90° (kurang dari 90°).

2. Sudut siku-siku

Perhatikan gambar berikut.

Pada gambar di atas terdapat sudut siku-siku. Sudut siku-siku memiliki besar sudut 90°.

3. Sudut tumpul

Perhatikan gambar berikut.

Sudut tumpul merupakan salah satu jenis sudut dengan ukuran sudut lebih dari 90° dan kurang dari 180°.

4. Sudut lurus

Perhatikan gambar berikut.

Gambar di atas merupakan sudut lurus dengan besar sudut 180°.

5. Sudut refleks

Perhatikan gambar berikut.

Gambar di atas merupakan gambar sudut refleks. Sudut refleks memiliki besar sudut lebih dari 180° dan kurang dari 360°.

C. Hubungan antara Sudut

Perhatikan gambar berikut.

Pada gambar di atas terdapat delapan sudut yang masing-masing diberi nama sudut dengan kode A1, A2, A3, A4, B1, B2, B3, B4, B5.

Beberapa hubungan antar sudut yaitu sebagai berikut.

1. Sudut sehadap

A1 dengan B1, A2 dengan B2, A3 dengan B3, dan A4 dengan B4. Besar dua sudut sehadap adalah sama.

2. Sudut dalam sepihak

A4 dengan B1, A3 dengan B2. Jumlah sudut dalam sepihak adalah 180 derajat.

3. Sudut luar sepihak

A1 dengan A4, A2 dengan B3. Jumlah sudut luar sepihak adalah 180 derajat.

4. Sudut bertolak belakang

A1 dengan A3, A2 dengan A4, B1 dengan B3, dan B2 dengan B4. Besar dua sudut yang bertolak belakang adalah sama.

5. Sudut berpelurus

A1 dengan A2, A3 dengan A4, B1 dengan B2, B3 dengan B4. Jumlah besar sudut yang berpelurus adalah 180 derajat.

6. Sudut dalam berseberangan

A4 dengan B2 dan A3 dengan B1. Besar sudut dalam berseberangan adalah sama.

7. Sudut luar berseberangan

A1 dengan B3 dan A2 dengan B4. Besar sudut luar berseberangan adalah sama.

D. Contoh dan Pembahasan

1. Perhatikan gambar di bawah ini

 

Besar ∠ABD adalah ….

Pembahasan :

Untuk menjawab soal ini hal pertama yang Anda cari adalah nilai x. Dalam hal ini ∠ABD dan ∠CBD merupakan sudut saling pelurus, maka:

∠ABD + ∠CBD = 180°

7x° + 5x° = 180°

12x° = 180°

x = 15°

 

∠ABD = 7x°

∠ABD = 7. 15°

∠ABD = 105°

Jadi, besar ∠ABD adalah 105° 

2. Perhatikan gambar di bawah ini

 

 

Nilai y adalah ….

Pembahasan :

Untuk menjawab soal ini Anda harus paham konsep hubungan antarsudut jika dua garis sejajar dipotong oleh garis lain. Dalam hal ini ∠CEF dan ∠EAH merupakan sudut sehadap, maka:

∠EAH = ∠CEF

∠EAH = 102°

∠EAH + ∠BAE = 180° (sudut saling berpelurus)

102°+ 3y = 180°

3y = 180° - 102°

3y = 78°

y = 26°

 

3. Perhatikan gambar di bawah ini

 

 

Besar pelurus sudut SQR adalah ….

Pembahasan :

Perhatian** soal ini merupakan soal jebakan, banyak yang mengira kalau soal tersebut menanyakan ∠SQR padahal yang diminta adalah ∠PQS. Untuk menjawab soal ini hal pertama yang Anda cari adalah nilai x. Dalam hal ini∠PQS dan ∠SQR merupakan sudut saling pelurus, maka:

∠PQS + ∠SQR = 180°

(5x)° + (4x+9)° = 180°

9x° + 9 = 180°

9x° = 171°

x° = 19°

 

Pelurus ∠SQR = ∠PQS

Pelurus ∠SQR = (5x)°

Pelurus ∠SQR = (5.19)°

Pelurus ∠SQR = 95° 

 

4. Perhatikan gambar berikut

 

 

Besar sudut nomor 1 adalah 95°, dan besar sudut nomor 2 adalah 110°. Besar sudut nomor 3 adalah ….

Pembahasan :

∠1 = ∠5 = 95° (sudut dalam berseberangan)

 

∠2 + ∠6 = 180° (saling berpelurus)

110° + ∠6 = 180°

∠6 = 70°

 

∠5 + ∠6 + ∠3 = 180°

95° + 70° + ∠3 = 180°

165° + ∠3 = 180°

∠3 = 15° 

 

5. Perhatikan gambar

 

 

Besar ∠BCA adalah ….

∠ABC + ∠CBD = 180° (saling berpelurus)

∠ABC + 112° = 180°

∠ABC = 68°

 

∠BCA + ∠ABC + ∠BAC = 180°

∠BCA + 68° + 42° = 180°

∠BCA + 110 = 180°

∠BCA = 70° 

FIBONACCI

A. Sejarah Fibonacci

   Bilangan Febonanci pertama kali dikemukakan oleh seorang ilmuan yang berasal dari Italia yang bernama Leonardo da Pisa atau dikenal sebagai Leonardo Pisano yang lahir kisaran pada tahun 1175 sampai 1250.

    Beliau  juga dikenal sebagai Fibonacci yang termasuk juga memiliki sebuah peran dalam mengenalkan sistem penulisan dan perhitungan bilangan Arab ke dunia Eropa. Leonardo ialah seseorang yang memperkenalkan bilangan deret. Kemudian setelah meninggal dunia, dia sering disebut sebagai Fibonacci ( berasal dari kata filius Bonacci artinya  anak dari Bonacci). Ayahnya yang bernama William atau dikenal sebagai Bonacci. Dari situlah kemudian Leonardo memiliki julukan Fibonacci yang merupakan berasal dari kata Filius Bonacci yang artinya anak dari Bonacci.

   Sebelum barisan atau bilangan ini ditemukan oleh Leonardo da Pisa di dunia Barat, berdasarkan pada buku The Art of Computer Programming karya Donald E. Knuth, barisan ini pertama kali telah dijelaskan oleh  seoarang matematikawan yang dari negara India yang bernama Gopala dan Hemachandra pada tahun 1150, ketika menyelidiki berbagai kemungkinan untuk memasukkan barang-barang ke dalam suatu kantong.

     Fibonancci merupakan ilmuan yang telah menulis beberapa judul buku yang mana salah satu judul buku yang terkenal dan menjadi tonggak awal penggunaan angka Arab di eropa ialah “Liber Abaci” yang ditulis sekitar pada tahun 1202.

B. Pengertian Fibonacci

Fibonacci adalah suatu barisan bilangan yang merupakan hasil penjumlahan dua bilangan sebelumnya. 

C. Deret Fibonacci

Deret Fibonacci didefinisikan secara rekursif (berulang). Misalkan dalam beberapa pola barisan bilangan dengan dua suku pertama  F1 = 0 dan F2 = 1.

Suku selanjutnya dirumuskan secara rekursif sebagai berikut.

Fn + 1 = Fn – 1  + Fn

Berikut ini akan dijelaskan mengenai rumus Fibonacci.

D. Rumus Fibonacci

Untuk menentukan suku ke-n bilangan Fibonacci dapat dengan menggunakan rumus berikut ini.

fn = 1/√5 x ((1 + √5)/2)n – 1/√5 x ((1 – √5)/2)n

E. Contoh Soal dan Pembahasan

1. Terdapat barisan bilangan sebagai berikut.

1, 1, 2, 3, 5, 8, . . .

Tentukan suku ke-8 barisan tersebut.

Pembahasan :

Dengan menerapkan konsep bilangan Fibonacci, diperoleh:

Suku ke-5 = 5

Suku ke-6 = 8

Suku ke-7 = 5 + 8 = 13

Suku ke-8 = 8 + 13 = 21

2. Perhatikan barisan bilangan berikut.

4, 7, 11, 18, 29, . . .

Tentukan tiga suku selanjutnya dari barisan di atas 

Pembahasan :

Suku ke-4 = 18

Suku ke-5 = 29

Suku ke-6 = 18 + 29 = 47

Suku ke-7 = 29 + 47 = 76

Suku ke-8 = 47 + 76 = 123

Tiga suku berikutnya yaitu 47, 76, dan 123.

3. Tentukan suku ke-10 barisan bilangan Fibonacci berikut ini : 

1,1,2,3,5,8,13,..

Pembahasan :

Diket : Barisan bilangan fibonacci 

       U6 = 8

       U7 = 13

Dit : U10 = ?

Jawab :

      U8 = U6+U7

             = 8+13

             = 21

       U9 = U7+U8

             = 13+21

             = 34

       U10 = U8+ U9

               = 21+34

               = 55

F. Bilangan Fibonacci di alam

Pertama :

Pola Bunga pada Bunga Matahari

Ternyata pola bunga juga menunjukkan adanya pola bilangan Fibonacci, contoh pada bunga matahari. Jika diperhatikan dari titik tengah menuju ke lingkaran yang lebih luar, maka polanya akan mengikuti deret Bilangan Fibonacci.

Lihat gambar:

Gambar Bungan Matahari

Kedua:

Jumlah Daun pada Daun Bungan Petals

Apabila kita perhatikan bungan petals, ternyata jumlah daun pada bunga tersebut hampir sama dengan deret Fibonacci. contoh:

Perhatikanlah:

• Jumlah daun bunga 3 yaitu bunga lili, iris
• Jumlah daun bunga 5 yaitu buttercup (sejenis bunga mangkok)
• Jumlah daun bunga 13 yaitu ragwort, corn marigold, cineraria
• Jumlah daun bunga 21 yaitu aster, black-eyed susan, chicoryJumlah daun bunga 34 : plantain, pyrethrumJumlah
• daun bunga 55,89 yaitu michaelmas daisies, the asteraceae family

Lihat Gambar:

Gambar Bungan Petals

Gambar Bungan Petals

Ketiga:

Tubuh Manusia

Lukisan terkenal Karya Leonardo Da Vinci Monalisa

Niai rasio emas ternyata juga dapat ditemukan bahkan di dalam tubuh kita sendiri. yaitu perbandingan jarak antar setiap anggota tubuh kita mendekati nilai rasio emas.

Lihat Gambar:

Lukisan terkenal Karya Leonardo Da Vinci Monalisa

Kemudian pada Tubuh Manusia

Pada Tubuh Manusia

INVERS MATRIKS

Definisi Invers Matriks

Invers matriks adalah sebuah kebalikan (invers) dari kedua matriks di mana apabila matriks tersebut dikalikan menghasilkan matriks persegi (AB = BA = |). Simbol dari invers matriks adalah pangkat -1 di atas hurufnya.

invers matriks ordo 2 x 2 

Invers matriks A berordo 2 dapat langsung kita peroleh dengan cara:

1. Tukar elemen-elemen pada diagonal utamanya.
2. Berikan tanda negatif pada elemen-elemen lainnya.
3. Bagilah setiap elemen matriks dengan determinannya.

Rumusan dari invers matriks persegi berordo 2 adalah sebagai berikut:
Jika matriks A = [ a b c d ] dengan determinan A = a.d – b.c, maka invers matriks A dirumuskan sebagai berikut:

invers matriks ordo 3 x 3

Dalam penyelesaian matriks 3 x 3, ada beberapa istilah yang harus kita ketahui yaitu determinan sarrus, minor, kofaktor, dan adjoin. Sebagai contoh apabila terdapat matriks 3 x 3 sebagai berikut: A = [ a b c d e f g h i ]maka rumus untuk mencari inversnya adalah sebagai berikut:

Dari persamaan diatas, ada det (A) yaitu determinan A dan Adj (A) yaitu adjoin A, di mana rumus untuk mencari determinan A menggunakan rumus determinan sarrus yaitu sebagai berikut:

Nilai determinanya sarrusnya menjadi = a x e x | + b x f x g – c x d x h – c x e x g – a x f x h – b x d x |. Selanjutnya penentuan Adjoin A dapat terlihat dari gambar dibawah ini.

Dari gambar terlihat terdapat simbol C kapital, di mana letak nilai C sudah ditranspos dari baris ke kolom. C merupakan singkatan dari kofaktor. Penentuan nilai kofaktor diperoleh dari penentuan nilai minor suatu matriks. Penentuan nilai kofaktor dan minor adalah sebagai berikut:

Contoh dan Pembahasan

Contoh 1

Contoh 2

Tentukan invers matriks berikut dengan menggunakan adjoin!

Penyelesaian:

Berdasarkan rumus di atas, kita membutuhkan determinan dan adjoin matriks A. Pertama, kita cari terlebih dahulu determinan matriks A menggunakan metode yang sudah dijelaskan sebelumnya. Bisa dengan cara aturan Sarrus ataupun metode minor-kofaktor. Misalnya, kita akan menggunakan metode Sarrus, sehingga:

Kemudian, kita tentukan adjoin matriks dengan mencari kofaktor matriks A tersebut.

Oleh karena itu,

Jadi,

Contoh 3

Tentukan invers matriks A dengan transformasi baris elementer.

Pembahasan:

Pertama-tama, kita bentuk matriks A menjadi matriks (A3|I3).

Lalu, kita transformasikan matriks (A3|I3) ke bentuk (I3|A3). Kita bisa menggunakan beberapa cara seperti yang dijelaskan poin a-d pada langkah ke-2 rumus di atas.

Keterangan:

1)  B2-2B1 = elemen-elemen baris ke-2 dikurang 2 kali elemen-elemen baris ke-1.

2)  B3-2B1 = elemen-elemen baris ke-3 dikurang 2 kali elemen-elemen baris ke-1.

3)  B3+B2 = elemen-elemen baris ke-3 ditambah elemen-elemen baris ke-2.

4)  1/5B3 = elemen-elemen baris ke-3 dikali degan ⅕.

5)  B2-2B3 = elemen-elemen baris ke-2 dikurang 2 kali elemen-elemen baris ke-3.

6)  B1-B2 = elemen-elemen baris ke-1 dikurang elemen-elemen baris ke-2.

Sehingga, diperoleh invers matriks A, yaitu: