INVERS MATRIKS

Definisi Invers Matriks

Invers matriks adalah sebuah kebalikan (invers) dari kedua matriks di mana apabila matriks tersebut dikalikan menghasilkan matriks persegi (AB = BA = |). Simbol dari invers matriks adalah pangkat -1 di atas hurufnya.

invers matriks ordo 2 x 2 

Invers matriks A berordo 2 dapat langsung kita peroleh dengan cara:

1. Tukar elemen-elemen pada diagonal utamanya.
2. Berikan tanda negatif pada elemen-elemen lainnya.
3. Bagilah setiap elemen matriks dengan determinannya.

Rumusan dari invers matriks persegi berordo 2 adalah sebagai berikut:
Jika matriks A = [ a b c d ] dengan determinan A = a.d – b.c, maka invers matriks A dirumuskan sebagai berikut:

invers matriks ordo 3 x 3

Dalam penyelesaian matriks 3 x 3, ada beberapa istilah yang harus kita ketahui yaitu determinan sarrus, minor, kofaktor, dan adjoin. Sebagai contoh apabila terdapat matriks 3 x 3 sebagai berikut: A = [ a b c d e f g h i ]maka rumus untuk mencari inversnya adalah sebagai berikut:

Dari persamaan diatas, ada det (A) yaitu determinan A dan Adj (A) yaitu adjoin A, di mana rumus untuk mencari determinan A menggunakan rumus determinan sarrus yaitu sebagai berikut:

Nilai determinanya sarrusnya menjadi = a x e x | + b x f x g – c x d x h – c x e x g – a x f x h – b x d x |. Selanjutnya penentuan Adjoin A dapat terlihat dari gambar dibawah ini.

Dari gambar terlihat terdapat simbol C kapital, di mana letak nilai C sudah ditranspos dari baris ke kolom. C merupakan singkatan dari kofaktor. Penentuan nilai kofaktor diperoleh dari penentuan nilai minor suatu matriks. Penentuan nilai kofaktor dan minor adalah sebagai berikut:

Contoh dan Pembahasan

Contoh 1

Contoh 2

Tentukan invers matriks berikut dengan menggunakan adjoin!

Penyelesaian:

Berdasarkan rumus di atas, kita membutuhkan determinan dan adjoin matriks A. Pertama, kita cari terlebih dahulu determinan matriks A menggunakan metode yang sudah dijelaskan sebelumnya. Bisa dengan cara aturan Sarrus ataupun metode minor-kofaktor. Misalnya, kita akan menggunakan metode Sarrus, sehingga:

Kemudian, kita tentukan adjoin matriks dengan mencari kofaktor matriks A tersebut.

Oleh karena itu,

Jadi,

Contoh 3

Tentukan invers matriks A dengan transformasi baris elementer.

Pembahasan:

Pertama-tama, kita bentuk matriks A menjadi matriks (A3|I3).

Lalu, kita transformasikan matriks (A3|I3) ke bentuk (I3|A3). Kita bisa menggunakan beberapa cara seperti yang dijelaskan poin a-d pada langkah ke-2 rumus di atas.

Keterangan:

1)  B2-2B1 = elemen-elemen baris ke-2 dikurang 2 kali elemen-elemen baris ke-1.

2)  B3-2B1 = elemen-elemen baris ke-3 dikurang 2 kali elemen-elemen baris ke-1.

3)  B3+B2 = elemen-elemen baris ke-3 ditambah elemen-elemen baris ke-2.

4)  1/5B3 = elemen-elemen baris ke-3 dikali degan ⅕.

5)  B2-2B3 = elemen-elemen baris ke-2 dikurang 2 kali elemen-elemen baris ke-3.

6)  B1-B2 = elemen-elemen baris ke-1 dikurang elemen-elemen baris ke-2.

Sehingga, diperoleh invers matriks A, yaitu: