Faktorial, Permutasi dan Kombinasi

A. Pengertian Faktorial

Faktorial adalah perkalian suatu bilangan bulat positif dengan semua bilangan bulat positif lain yang kurang dari bilangan bulat tersebut. Lambang faktorial berupa tanda seru (!)

B. Pengertian Permutasi

Permutasi adalah susunan atau urutan-urutan yang berbeda satu sama lain yang terbentuk dari sebagian atau seluruh objek. Rumus permutasi adalah sebagai berikut.

C. Pengertian Kombinasi 

Kombinasi adalah kumpulan sebagian atau seluruh objek tanpa memperhatikan urutannya. Rumus kombinasi adalah sebagai berikut.

D. Bentuk Faktorial 

Secara umum dapat dituliskan sebagai:

n! = n(n – 1) . (n – 2) . (n – 3) .   . . .3.2.1

0! = 1 dan 1! = 1

Contoh :

1. 3!  = 3 . (3 – 1) . (3 – 2)    = 3 . 2. 1 = 6

2. 5! = 5 . (5 – 1) . (5 – 2) . (5 – 3) . (5 – 4) = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120

3. Berapakah hasil penjumlahan dari dua bilangan faktorial : 5! + 3! = ....?

jawaban :

5! = 5.4.3.2.1 = 120
3! = 3.2.1 = 6
Jadi ,5! + 3! = 126

 Pembagian bilangan faktorial dengan bilangan faktorial dilakukan dengan cara menyederhanakan pembilang dan penyebut.

Contoh :

E. Jenis-Jenis Permutasi

1. Permutsi melingkar (keliling)

Yaitu suatu permutasi yang dibuat dengan menyusun anggota-anggota suatu himpunan secra melingkar.

Rumus banyak permutasi : (n-1)!

Contoh : 

1. Sekelompok mahasiswa yang terdiri 7 orang duduk mengelilingi sebuah meja bundar. Dalam beberapa cara ketujuh mahasiswa itu dapat diatur sekelilig meja bundar tersebut!

Jawab :

(n-1)!,    n = 7

Jadi = (7-1)!= 6!

 = 6.5.4.3.2.1 = 720 cara.

2. Permutasi dari objek dengan pengembalian

dirumuskan :

Contoh : 

Tentukan permutasi dari A, B, C sebanyak 2 unsur, dengan pengembalian unsur yang dipilih

Jawab :

n = 3     r = 2

Kemungkinan susunannya

AA	AB	AC
BB	BA	BC
CC	CA	CB

3. Permutasi n objek yang sama

Dirumuskan

Contoh : 

Berapa banyak susunan yang dapat dibuat dari katai “TAMAT”

Jawab

n = 5,
n1 = 2 (T)
n2 = 2 (A)
n3 = 1 (M)

Jadi

 

Contoh soal dan pembahasan tambahan 

1.Sebuah organisasi mahasiswa memiliki 7 orang yang kompeten untuk mengisi posisi ketua, wakil ketua, sekretaris dan bendahara. Berapakah banyaknya cara untuk memilih susunan posisi tersebut?

jawaban :

7P4​​=(7−4)!7!​=3!7!​=4×5×6×7=840

2. Sebuah sekolah akan menyusun tim olahraga yang terdiri dari 5 orang siswa yang akan dicalonkan untuk menjadi pemain. Namun hanya 3 orang boleh menjadi pemain utama. Tentukan banyak cara yang bisa dipakai untuk memilih para pemain utama tersebut?

jawaban :

3. Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu ?

jawaban :

4. Tentukanlah ada berapa banyak cara duduk yang memungkinkan jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu ?

jawaban :

F. Contoh Kombinasi

1. Dalam suatu ruangan terdapat 50 orang yang sedang menghadiri halal bil hala. Acara penutupan adalah saling bersalaman. Berapa banyak salaman yang dilakukan seluruhnya!

Jawab

n =50,  r = 2

2.Diatas meja terdapat tiga buah amplop yaitu : amplop A, amplop B dan amplop C. Si Ibu menyuruh anaknya mengambil dua amplop dari tiga amplop yang tersedia diatas meja. Berapa banyaknya cara atau kombinasi untuk mengambil dua buah amplop dari tiga buah amplop yang disediakan?

Jawaban :

C(3,2)= 3!(3-2)!.2! = 3.2!1.2!= 3

3. Dalam sebuah sekolah telah diseleksi 5 orang siswa yang berbakat dan mahir dalam badmintoon. Berapa banyaknya cara pemilihan yang mungkin jika dipilih 3 orang siswa untuk mewakili sekolah dalam turnamen badmontoon?

jawaban :

Diketahui :
n = 5, menyatakan jumlah siswa yang telah diseleksi dalam bidang olahraga badminton.
k = 3, jumlah siswa yang diutus dalam kompetensi badminton

C(5,3)= 5!(5-3)!.3! = 5.4.3!2!.3! = 202 =10
4. Menjelang arisan keluarga dirumah, bu Darni belanja kepasar untuk membeli 2 ekor ayam dan 2 ekor itik dari seorang pedagang yang memiliki 5 ekor ayam dan 5 ekor itik. Ada berapa banyak cara yang dapat dilakukan oleh bu Darni dalam memilih ternak-ternak yang diinginkannya?
jawaban :
Diketahui:
1. Untuk Pemilihan Ayam :
n = 5, menyatakan jumlah ayam yang tersedia
k = 2, menyatakan jumlah ayam yang akan dibeli

C(5,2)= 5!(5-2)!.2! = 5.4.3!3!.2! = 202 =10

2. Untuk Pemilihan Itik
n = 5, menyatakan jumlah itik yang tersedia
k = 2, menyatakan jumlah itik yang akan dibeli

C(5,2)= 5!(5-2)!.2! = 5.4.3!3!.2! = 202 =10


5. Dalam suatu pertemuan tedapat 10 orang yang belum saling kenal.Agar mereka saling kenal maka mereka saling berjabat tangan. Berapa banyak jabat tangan yang terjadi?
jawaban :
Diketahui:
n = 10, menyatakan jumlah orang dalam suatu pertemuan
k = 2, menyatakan jumlah orang yang saling berjabat tangan

C(10,2)= 10!(10-2)!.2! = 10.9.8!8!.2! = 902 =45



Jadi Bu Darni memiliki pilihan sebanyak = 10 x 10 = 100 cara

LINGKARAN

A. Pengertian Lingkaran

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu itu disebut pusat lingkaran,  sedangkan jarak titik terhadap pusat lingkaran disebut jari-jari lingkaran.

Gambar dibawah ini menunjukkan lingkaran dengan pusat P dan jari-jari r.

                                           

B.  Unsur – Unsur Yang Ada di Dalam Lingkaran

1. Jari-jari Lingkaran

Jari – jari dalam lingkaran merupakan suatu garis yang menghubungkan antara titik pusat dengan titik pada keliling lingkaran.

Pada gambar di atas, jari – jari lingkaran berada pada garis OC, OD, OB dan juga OA.

2. Titik Pusat Lingkaran

Titik pusat yang terdapat dalam lingkaran merupakan suatu titik yang berada tepat ditengah – tengah lingkaran.

Pada gambar lingkaran di atas, titik pusat lingkaran terletak di huruf O.

3. Busur Lingkaran

Yang dimaksud dari busur pada lingkaran yaitu suatu garis lengkung yang di mana adalah bagian dari keliling lingkaran.

Busur pada lingkarang terbagi menjadi dua macam, antara lain: busur besar dan busur kecil.

Disebut sebagai busur besar apabila panjangnya lebih dari setengah lingkaran.

Sementara disebut sebagai busur kecil apabila panjangnya kurang dari setengah lingkaran. Pada gambar di atas, busur lingkarang berada di garis lengkung AC, CB, BD, dan juga AD.

4. Diameter Lingkaran

Yang disebut sebagai diameter pada lingkaran yaitu suatu panjang garis lurus yang mengaitkan antara dua titik pada keliling lingkaran yang melewati titik pusat lingkaran.

Dari definisi tersebut, maka dapat kita ambil kesimpulannya jika jari – jari lingkaran mempunyai nilai setengah dari diameter atau diameter mempunyai nilai dua kali dari jari – jari.

Sehingga rumus yang ditulis yaitu d = 2r.

Pada gambar di atas, diameter lingkaran atau garis tengah lingkaran berada tepat di garis AB dan CD.

5. Tembereng Lingkaran

Pengertian dari tembereng pada lingkaran yaitu daerah yang terletak di dalam lingkaran yang telah dibatasi oleh busur lingkaran serta tali busur lingkaran.

Pada gambar di atas, tembereng lingkarang telah dibatasi oleh busur AD dan juga tali busur AD.

6. Tali Busur Lingkaran

Yang dimaksud dari tali busur pada lingkaran yaitu garis lurus yang mengaitkan dua titik pada keliling lingkaran serta tidak melewati titik pusat lingkaran.

Apabila kita ibaratkan, tali busur lingkaran seperti halnya tali yang terdapa pada busur panah.

Pada gambar di atas, tali busur lingkaran berada pada garis AD.

7. Apotema Lingkaran

Unsur selenjutnya ialah Apotema Lingkaran.

Apotema lingkaran merupakan jarak terpendek antara tali busur dengan titik pusat lingkaran.

Garis apotema pada umumnya terletak tegak lurus dengan tali busur.

Pada gambar di atas, garis apotema berada di garis OF.

8. Juring Lingkaran

Yang dimaksud dengan juring pada lingkaran yaitu suatu daerah yang dibatasi oleh dua garis jari – jari serta telah dibatasi oleh sebuah busur lingkarang yang posisinya diapit oleh dua buah jari – jari tersebut.

Juring lingkarang juga terbagai menjadi dua macam. Antara lain: juring kecil dan juring besar.

Pada gambar di atas, daerah juring lingkaran berada di daerah yang diberi warna hijau yakni juring BOC.

9. Sudut Keliling Lingkaran

Unsur lingkaran selanjutnya yaitu sudut keliling.

Pengertian dari sudut keliling pada lingkaran yakni sudut yang terbentuk sebab adanya pertemuan antara dua tali busur dengan satu titik pada keliling lingkaran.

Apabila kita perhatikan pada gambar di atas, tali busur AC serta tali busur BC yang bertemu di titik C serta membentuk sudut keliling ACB.

10. Sudut Pusat Lingkaran

Unsur yang terakhir yaitu sudut pusat.

Sudut pusat adalah sudut yang terbentuk dari perpotongan antara dua buah jari – jari (OA dan OB) pada titik pusat lingkaran.

Pada gambar di atas, sudut pusat yang terbentuk antara titik A, O, serta B yakni <AOB.

C . Persamaan Lingkaran

1. Persamaan lingkaran yang  berpusat O (0, 0) dan jari-jari r

Pada lingkaran disamping jari-jari atau r = OP, OQ = x dan PQ = y. Jarak dari O (0, 0) ke P  (x, y) adalah.

                      

  Berdasarkan rumus Pythagoras 

                 

 Jadi persamaan lingkaran dengan pusat O (0, 0) dan jari-jari r adalah  :

x2 + y2 = r2

  Contoh :
  
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat O (0, 0) dan jari-jari 5

 Jawab :

                   

2. Persamaan lingkaran yang berpusat P (a, b) dan berjari-jari r

       

Persamaan lingkaran yang berpusat P(a, b) dan berjari-jari r dapat diperoleh dari persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari r dengan menggunakan teori pergeseran. Jika pusat (0, 0) bergeser (a, b) maka titik (x, y) bergeser ke (x + a, y + b).

 Kita peroleh persamaan.

Persamaan lingkaran menjadi (x’– a)2 + (y’ – b)2 = r2

Jadi persamaan lingkaran yang berpusat P(a, b) dan berjari-jari r adalah :

(x- a)2 + (y – b)2 = r2

Contoh 1 :

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (3, 2) dan berjari-jari 4

Jawab :

Pusat (3, 2)  maka a = 3 dan b = 2.

Persamaan lingkaran (x- a)2 + (y – b)2 = r2

                                   (x- 3)2 + (y – 2)2 = 42

                                   (x- 3)2 + (y – 2)2 = 16

Contoh 2 :

Tentukan persamaan lingkaran berpusat di titik  P(2, 3) yang melalui Q(5, -1)

 Jawab : 

Pusat (2, 3)  maka  a = 2 dan b = 3

Persamaan lingkaran (x- a)2 + (y – b)2 = r2

                                               (x- 2)2 + (y – 3)2 = 25

D. Bentuk umum persamaan lingkaran

Persamaan lingkaran yang berpusat  P(a, b) dan berjari-jari r adalah

          (x- a)2 + (y – b)2 = r2

          x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2

          x2+ y2 – 2ax – 2by + a2+ b2– r2 = 0 atau
          x2+ y2 + Ax + By + a2+ b2+ C= 0

Jadi bentuk umum persamaan lingkaran  : 

x2+ y2 + Ax + By + a2+ b2+ C= 0

        Contoh :

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x2+ y2 – 4x +2y – 20= 0

       Jawab :

A = -4,  B = 2,  dan  C = -20