Faktorial, Permutasi dan Kombinasi

A. Pengertian Faktorial

Faktorial adalah perkalian suatu bilangan bulat positif dengan semua bilangan bulat positif lain yang kurang dari bilangan bulat tersebut. Lambang faktorial berupa tanda seru (!)

B. Pengertian Permutasi

Permutasi adalah susunan atau urutan-urutan yang berbeda satu sama lain yang terbentuk dari sebagian atau seluruh objek. Rumus permutasi adalah sebagai berikut.

C. Pengertian Kombinasi 

Kombinasi adalah kumpulan sebagian atau seluruh objek tanpa memperhatikan urutannya. Rumus kombinasi adalah sebagai berikut.

D. Bentuk Faktorial 

Secara umum dapat dituliskan sebagai:

n! = n(n – 1) . (n – 2) . (n – 3) .   . . .3.2.1

0! = 1 dan 1! = 1

Contoh :

1. 3!  = 3 . (3 – 1) . (3 – 2)    = 3 . 2. 1 = 6

2. 5! = 5 . (5 – 1) . (5 – 2) . (5 – 3) . (5 – 4) = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120

3. Berapakah hasil penjumlahan dari dua bilangan faktorial : 5! + 3! = ....?

jawaban :

5! = 5.4.3.2.1 = 120
3! = 3.2.1 = 6
Jadi ,5! + 3! = 126

 Pembagian bilangan faktorial dengan bilangan faktorial dilakukan dengan cara menyederhanakan pembilang dan penyebut.

Contoh :

E. Jenis-Jenis Permutasi

1. Permutsi melingkar (keliling)

Yaitu suatu permutasi yang dibuat dengan menyusun anggota-anggota suatu himpunan secra melingkar.

Rumus banyak permutasi : (n-1)!

Contoh : 

1. Sekelompok mahasiswa yang terdiri 7 orang duduk mengelilingi sebuah meja bundar. Dalam beberapa cara ketujuh mahasiswa itu dapat diatur sekelilig meja bundar tersebut!

Jawab :

(n-1)!,    n = 7

Jadi = (7-1)!= 6!

 = 6.5.4.3.2.1 = 720 cara.

2. Permutasi dari objek dengan pengembalian

dirumuskan :

Contoh : 

Tentukan permutasi dari A, B, C sebanyak 2 unsur, dengan pengembalian unsur yang dipilih

Jawab :

n = 3     r = 2

Kemungkinan susunannya

AA	AB	AC
BB	BA	BC
CC	CA	CB

3. Permutasi n objek yang sama

Dirumuskan

Contoh : 

Berapa banyak susunan yang dapat dibuat dari katai “TAMAT”

Jawab

n = 5,
n1 = 2 (T)
n2 = 2 (A)
n3 = 1 (M)

Jadi

 

Contoh soal dan pembahasan tambahan 

1.Sebuah organisasi mahasiswa memiliki 7 orang yang kompeten untuk mengisi posisi ketua, wakil ketua, sekretaris dan bendahara. Berapakah banyaknya cara untuk memilih susunan posisi tersebut?

jawaban :

7P4​​=(7−4)!7!​=3!7!​=4×5×6×7=840

2. Sebuah sekolah akan menyusun tim olahraga yang terdiri dari 5 orang siswa yang akan dicalonkan untuk menjadi pemain. Namun hanya 3 orang boleh menjadi pemain utama. Tentukan banyak cara yang bisa dipakai untuk memilih para pemain utama tersebut?

jawaban :

3. Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu ?

jawaban :

4. Tentukanlah ada berapa banyak cara duduk yang memungkinkan jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu ?

jawaban :

F. Contoh Kombinasi

1. Dalam suatu ruangan terdapat 50 orang yang sedang menghadiri halal bil hala. Acara penutupan adalah saling bersalaman. Berapa banyak salaman yang dilakukan seluruhnya!

Jawab

n =50,  r = 2

2.Diatas meja terdapat tiga buah amplop yaitu : amplop A, amplop B dan amplop C. Si Ibu menyuruh anaknya mengambil dua amplop dari tiga amplop yang tersedia diatas meja. Berapa banyaknya cara atau kombinasi untuk mengambil dua buah amplop dari tiga buah amplop yang disediakan?

Jawaban :

C(3,2)= 3!(3-2)!.2! = 3.2!1.2!= 3

3. Dalam sebuah sekolah telah diseleksi 5 orang siswa yang berbakat dan mahir dalam badmintoon. Berapa banyaknya cara pemilihan yang mungkin jika dipilih 3 orang siswa untuk mewakili sekolah dalam turnamen badmontoon?

jawaban :

Diketahui :
n = 5, menyatakan jumlah siswa yang telah diseleksi dalam bidang olahraga badminton.
k = 3, jumlah siswa yang diutus dalam kompetensi badminton

C(5,3)= 5!(5-3)!.3! = 5.4.3!2!.3! = 202 =10
4. Menjelang arisan keluarga dirumah, bu Darni belanja kepasar untuk membeli 2 ekor ayam dan 2 ekor itik dari seorang pedagang yang memiliki 5 ekor ayam dan 5 ekor itik. Ada berapa banyak cara yang dapat dilakukan oleh bu Darni dalam memilih ternak-ternak yang diinginkannya?
jawaban :
Diketahui:
1. Untuk Pemilihan Ayam :
n = 5, menyatakan jumlah ayam yang tersedia
k = 2, menyatakan jumlah ayam yang akan dibeli

C(5,2)= 5!(5-2)!.2! = 5.4.3!3!.2! = 202 =10

2. Untuk Pemilihan Itik
n = 5, menyatakan jumlah itik yang tersedia
k = 2, menyatakan jumlah itik yang akan dibeli

C(5,2)= 5!(5-2)!.2! = 5.4.3!3!.2! = 202 =10


5. Dalam suatu pertemuan tedapat 10 orang yang belum saling kenal.Agar mereka saling kenal maka mereka saling berjabat tangan. Berapa banyak jabat tangan yang terjadi?
jawaban :
Diketahui:
n = 10, menyatakan jumlah orang dalam suatu pertemuan
k = 2, menyatakan jumlah orang yang saling berjabat tangan

C(10,2)= 10!(10-2)!.2! = 10.9.8!8!.2! = 902 =45



Jadi Bu Darni memiliki pilihan sebanyak = 10 x 10 = 100 cara