DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK

A. Penjelasan Secara Umum

Distribusi peluang peubah acak hipergeometrik adalah banyaknya sukses x dalam sampel acak ukuran n yang diambil dari populasi sebanyak N yang mengandung jumlah sukses sebanyak k.

B. Karakteristik Distribusi Hipergeometrik

1. Sebuah sampel random berukuran n diambil tanpa pengembalian dari N item (populasi) 
2. k dari N dapat diklasifikasikan sebagai sukses dan N-k diklasifikasikan sebagai gagal

jumlah sukses yang terjadi dalam suatu eksperimen hipergeometrik disebut variabel random hipergeometrik dan distribusi probabilitas dari variabel random ini disebut distribusi hipergeometrik.

 C. Perbedaan Distribusi Binomial dengan Distribusi Hipergeometrik

Perbedaan yang terjadi dari dua distribusi binomial dengan hipergeometrik adalah peluang.  

a. Peluang Binomial : 

Perhatian hanya untuk peluang BERHASIL. 

 b. Peluang Hipergeometrik :

Untuk kasus di mana peluang BERHASIL berkaitan dengan Peluang GAGAL.  

Ada penyekatan dan pemilihan/kombinasi obyek (BERHASIL dan GAGAL).

D. Rumus-Rumus yang Berkaitan dengan Distribusi Hipergeometrik

Rumus Distribusi Hipergeometrik

Rumus Harapan Hipergeometrik(mean)

 

Rumus Varians

 

E. Kegunaan dari Distribusi Hipergeometrik dalam Kehidupan Sehari-Hari 

Ditemukan dalam berbagai bidang, dan paling sering digunakan dalam penarikan sampel penerimaan barang, pengujian elektronik, jaminan mutu, dan sebagainnya.Dalam banyak bidang ini, pengujian dilakukan terhadap barang yang diuji yang pada akhirnya barang uji tersebut menjadi rusak, sehingga tidak dapat dikembalikan. Jadi, pengambilan sampel harus dikerjakan tanpa pengembalian. 

F. Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 1 

Tumpukan 40 komponen masing-masing dikatakan dapat diterima bila isinya tidak lebih dari 3 yang cacat. Prosedur penarikan contoh tumpukan tersebut adalah memilih 5 komponen secara acak dan menolak tumpukan tersebut bila ditemukan suatu cacat. Berapakah probabilitas bahwa tepat 1 cacat ditemukan dalam contoh itu bila ada 3 cacat dalam keseluruhan tumpukan itu?


jawaban :
Dengan menggunakan sebaran hipergeometri dengan n = 5, N = 4, k = 3 dan x = 1 kita dapatkan probabilitas perolehan satu cacat menjadi.
 

Contoh 2

Sebuah komisi dengan anggota 5 orang akan dipilih secara acak dari 3 ahli kimia dan 5 fisikawan. Carilah sebaran probabilitas untuk jumlah ahli kimia dalam komisi tersebut. 

Jawaban:
Misalkan peubah acak X sebagai jumlah ahli kimia dalam komisi tersebut. Kedua sifat percobaan hipergeometri tersebut terpenuhi. Sehingga !

 

Dalam bentuk tabel sebaran hipergeometri X adalah sebagai berikut:

 

Contoh 3

    Jawaban : 

Contoh 4

    Jawaban : 

Contoh 5 

    Jawaban : 

 Contoh 6

   Jawaban : 

Contoh 7  

   Jawaban :

Nilai harapan distribusi hipergeometrik adalah jumlah dari semua

hasil perkalian antara nilai variabel random dengan nilai probabilit

DISTRIBUSI GEOMETRIK

A. Penjelasan Secara Umum

Distribusi geometrik adalah kasus khusus dari distribusi binomial negatif untuk k=1, yaitu distribusi peluang banyaknya usaha yang diperlukan untuk mendapatkan sukses pertama. Dengan kata lain distribusi ini mewakili suatu kejadian random hingga  sukses yang pertama kali terjadi. diberikan Fungsi distribusi probabilitas geometrik :

Mean

Varians

Fungsi Pembangkit Momen 

B. Contoh Soal dan Pembahasannya

Contoh 1

Contoh 2

Contoh 3

  Jawaban : 

 Contoh 4

 Contoh 5

15% dari semua karcis di bioskop A dibuat karcis bebas. tentukan harapan dan varians dari distribusi geometrik tersebut. 

Contoh 6

Dari suatu eksperimen diperoleh hasil bahwa probabilitas seekor kelinci betina melahirkan kelinci jantan adalah 35%. Tentukan harapan lahirnya kelinci jantan untuk pertama kali 

Contoh 7 

diketahui ada 2% barang yang rusak dari seluruh barang produksi suatu pabrik. Pengepakan barang dilakukan dengan sistem ban berjalan( barang bergerak satu persen). tentukan probabilitas munculnya barang yang rusak pada barang yang keluar pertama kali dari ban berjalan.

jawaban :

Contoh 8

Sebuah kartu diambil dari satu set kartu bridge secara acak. Kemudian kartu dikembalikan lagi. tentukan probabilitas terambilnya kartu As pertama kali pada pengambilan ke 10. (1 pak kartu ada 52 kartu, 4 diantaranya kartu As).

jawaban :

Contoh 9 

Dua dadu dilempar bersama-sama. tentukan harapan matematis dan varians dari kejadian munculnya mata dadu kembar pertama kali.

jawaban : 

 

  

DISTRIBUSI POISSON

A. Penjelasan Secara Umum

Distribusi Poisson adalah distribusi probabilitas diskret yang menyatakan peluang jumlah peristiwa yang terjadi pada periode waktu tertentu apabila rata-rata kejadian tersebut diketahui dan dalam waktu yang saling bebas sejak kejadian terakhir. (distribusi Poisson juga dapat digunakan untuk jumlah kejadian pada interval tertentu seperti jarak, luas, atau volume).

Rata- Rata

$$\text{E}(X)=\lambda

E(X)=λ

Varians

Var (X)=λ 

Contoh penerapan distribusi poisson dalam kehidupan sehari hari adalah : 

• Kedatangan Bus 

• Kedatangan Pasien di rumah sakit 

• Jumlah panggilan yang masuk 

• Jumlah kecelakaan 

• Antrian

B. Ciri- Ciri Distribusi Poisson

• variabel yang digunakan adalah variabel diskret,
• percobaan bersifat random/acak,
• percobaan bersifat independen,
• biasanya digunakan pada percobaan binomial dimana n > 50 dan p<0,1

C. Sifat Distribusi Poisson

1. Banyaknya hasil yang terjadi dalam selang waktu atau daerah tertentu tidak terpengaruh    oleh(bebas dari) apa yang terjadi pada selang waktu atau daerah  ingatan
2. Peluang terjadinya suatu hasil (tunggal) dalam selang waktu yang sangat pendek atau banyaknya alam daerah yang kecil sebanding dengan panjang selang waktu atau besarnya daerah dan tidak tergantung pada banyaknya hasil yang terjadi diluar selang waktu atau daerah tersebut.
3. Peluang terjadinya lebih dari satu hasil dalam selang waktu yang pendek atau daerah yang sempit tersebut dapat diabaikan. 

D. Contoh dan Pembahasannya

Contoh 1 

Sebuah toko alat-alat listrik mencatat rata-rata penjualan lampu TL 40 W setiap hari 5 buah. Jika permintaan akan lampu tersebut mengikuti distibusi poisson, berapa probabilitas untuk penjualan berikut :

a. 0 lampu TL

b. 3 lampu Tl

jawaban : 

 Contoh 2

dalam sebuah majalah yang terdiri dari 120 halaman terdapat 80 kata yang salah cetak dan berdistibusi secara acak dalam halaman-halaman majalah tersebut. hitung probabilitas seandainya sebuah halaman majalah tersebut dibuka :

a. tidak terdapat salah cetak

b. 4 kata yang salah cetak 

jawaban :  

 Contoh 3

Ruang gawat darurat sebuah rumah sakit memiliki tingkat kedatangan rata-rata pasien sebanyak 4 orang perhari. kedatangan pasien mengikut proses poisson.

a. berapa probabilitas kedatangan 2 pasien per hari?

b. berapa probabilitas kedatangan 2 pasien sampai pada siang hari saja?

jawaban : 

 Contoh 4

Sebuah toko online mencatat bahwa toko tersebut akan mendapatkan komplain dari 50 pelanggan ketika mengirimkan barang ke 10.000 pelanggan. Jika pada suatu hari toko tersebut mengirim barang ke pelanggannya sebanyak 1.000 barang. Hitunglah peluang toko tersebut mendapat komplain daria. 7 pelanggan,b. 5 pelanggan,c. 2 pelanggan,d. tidak ada komplain,e. lebih dari 2 pelanggan. 

 jawaban :

$p=\displaystyle\frac{50}{10.000}=0\text{,}005.$ Selanjutnya $n=1.000,$ sehingga$\begin{aligned} \lambda&=np\\ &=(1.000).(0\text{,}005)\\ &=5. \end{aligned}$

​

$p=\displaystyle\frac{50}{10.000}=0\text{,}005.$

Dengan demikian

$$P(X=7)a. 

$a.\; P(X=7)$

$\begin{aligned} P(X=x)&=\frac{\text{e}^{-\lambda}\lambda^x}{x!}\\ P(X=7)&=\frac{\text{e}^{-5}5^7}{7!}\\ &=\frac{526\text{,}4021}{5040}\\ &=0\text{,}1044 \end{aligned}$$$P(X=5)b. 

$b.\; P(X=5)$

$\begin{aligned} P(X=5)&=\frac{\text{e}^{-5}5^5}{5!}\\ &=\frac{21\text{,}0561}{120}\\ &=0\text{,}1755 \end{aligned}$$P(X=2)$

$c.\; P(X=2)$

$\begin{aligned} P(X=2)&=\frac{\text{e}^{-5}5^2}{2!}\\ &=\frac{0\text{,}1684}{2}\\ &=0\text{,}0842 \end{aligned}$$$P(X=0)d

$d.\; P(X=0)$

$\begin{aligned} P(X=0)&=\frac{\text{e}^{-5}5^0}{0!}\\ &=\frac{0\text{,}0067}{1}\\ &=0\text{,}0067 \end{aligned}$$P(X>2)$

$e.\; P(X>2)$

$\begin{aligned} P(X > 2)&=1-P(X\leq 2)\\ &=1-\left[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\right]\\ &=1-\left[0\text{,}0067+0\text{,}0337+0\text{,}0842\right]\\ &=1-0\text{,}1246\\ &=0\text{,}8754 \end{aligned}$

 Contoh 5

jawaban : 

 

 Contoh 6

sebuah toko elektronik mencatat bahwa rata-rata penjualan lampu LED sebanyak 4 buah setiap hari. Berapakah peluang pada esok hari akan terjual lampu LED sebanyak :

a. 5 lampu

b. 3 lampu

jawaban :

  

$$n > 50