LOGIKA MATEMATIKA

Logika Matematika

A. Pengertian Logika Matematika

Cabang logika dan matematika yang mengandung kajian matematis logika. Dalam logika matematika, kita belajar untuk menentukan apakah nilai suatu pernyataan tersebut benar atau salah. pernyataan tersebut terbagi menjadi 2 jenis, yaitu :

1. Pernyataan tertutup ( kalimat tertutup )

Pernyataan tertutup atau kalimat tertutup adalah suatu pernyataan yang sudah memiliki nilai benar atau salah.

2. Pernyataan terbuka ( kalimat terbuka )

Pernyataan terbuka atau kalimat terbuka adalah suatu pernyataan yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya karena adanya suatu perubah atau variabel.

B. HUKUM LOGIKA

1. Hukum komutatif
   • p ∧ q ≡ q ∧ p
   • p ∨ q ≡ q ∨ p
2. Hukum asosiatif
   • (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)
   • (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)
3. Hukum distributif
   • p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
   • p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
4. Hukum identitas
   • p ∧ B ≡ p
   • p ∨ S ≡ p
5. Hukum ikatan
   • p ∧ S ≡ S
   • p ∨ B ≡ B
6. Hukum negasi
   • p ∧ ~p ≡ S
   • p ∨ ~p ≡ B
7. Hukum negasi ganda
   • ~(~p) ≡ p
8. Hukum idempotent
   • p ∧ p ≡ p
   • p ∨ p ≡ p
9. Hukum De Morgan
   • ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q
   • ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q
10. Hukum penyerapan
    • p ∧ (p ∨ q) ≡ p
    • p ∨ (p ∧ q) ≡ p
11. Negasi B dan S
    • ~B ≡ S
    • ~S ≡ B
12. p → q ≡ ~p ∨ q
13. p ↔ q ≡ (~p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q)

C. JENIS-JENIS OPERASI PADA TABEL KEBENARAN 

Tabel kebenaran adalah tabel dalam matematika yang digunakan untuk melihat nilai kebenaran dari suatu premis/pernyataan. Jika hasil akhir adalah benar semua (dilambangkan B atau 1), maka disebut tautologi. Sedangkan jika salah semua (S atau 0) disebut kontradiksi. Dan premis yang hasil akhirnya gabungan benar dan salah disebut kontingensi.

1. Negasi

Sebuah pernyataan yang memiliki nilai kebenaran yang berlawanan dengan pernyataan semula. Berikut adalah tabel kebenaran ingkaran.

Tabel kebenaran untuk TIDAK p ditulis (~p) adalah di bawah ini:

Logika negasi 

p	~p
B	S
S	B

2. Konjungsi

Suatu pernyataan p dan q dapat digabungkan dengan menggunakan kata hubung ‘dan’ sehingga membentuk pernyataan majemuk ‘p dan q’ yang disebut konjungsi yang dilambangkan dengan “p∧q”.

Tabel kebenaran untuk p DAN q ditulis (p ∧ q) adalah di bawah ini:

Logika konjungsi 

p	q	p ∧ q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

3. Disjungsi

Suatu pernyataan p dan q dapat digabungkan dengan menggunakan kata hubung ‘atau’ sehingga membentuk pernyataan majemuk ‘p atau q’ yang disebut disjungsi yang dilambangkan dengan “p ∨ q”. 

 a. Disjungsi inklusif (sering disebut sebagai disjungsi saja)

Tabel kebenaran untuk p ATAU q ditulis (p ∨ q) adalah di bawah ini:

Logika Disjungsi

p	q	p ∨ q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

b. Disjungsi Ekslusif

Tabel kebenaran untuk Disjungsi eksklusif  atau ditulis (p ≠ q) adalah di bawah ini:

Disjungsi eksklusif 

p	q	p ≠ q
B	B	S
B	S	B
S	B	B
S	S	S

4. Implikasi

Implikasi bisa dipandang sebagai hubungan antara dua pernyataan di mana pernyataan kedua merupakan konsekuensi logis dari pernyataan pertama. Implikasi ditandai dengan notasi ‘⟹’. Misalkan p, q adalah pernyataan. Tabel kebenaran untuk implikasi atau ditulis  (p ⇒ q) adalah di bawah ini:

Logika kesamaan

p	q	p ⇒ q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

5. Biimplikasi

Suatu pernyataan p dan q dapat digabungkan dengan menggunakan kata hubung ‘jika dan hanya jika’ sehingga membentuk pernyataan majemuk ‘p jika dan hanya jika q’ yang disebut Biimplikasi yang dilambangkan dengan “p ⇔ q”.  Tabel kebenaran untuk Biimplikasi atau ditulis (p ⇔ q) adalah di bawah ini:

Logika kesamaan

p	q	p ↔ q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

D. BENTUK-BENTUK PERNYATAAN YANG SALING EKUIVALEN

E. PENARIKAN KESIMPULAN
penarikan kesimpulan adalah konklusi dari beberapa pernyataan majemuk (premis) yang saling terkait. Dalam penarikan kesimpulan terdiri dari beberapa cara, yaitu :