Selasa, 14 April 2020

BARISAN DAN DERET ARITMATIKA

A. Pengertian
Barisan Aritmatika adalah sebuah barisan dengan selisih antara 2 suku yang berurutan selalu tetap. Dan selisih antara 2 suku yang berurutan pada barisan aritmatika ini di sebut dengan beda.
Deret Aritmatika adalah penjumlahan dari suku-suku pada barisan aritmatika.  
B. Bentuk Umum 

Bentuk umum barisan aritmatika : 
U1, U2, U3, ….Un 
Bentuk umum deret aritmatika :
a + (a + b) + (a+2b) + (a+3b) + … + (a+(n-1)b ) 
C.  Rumus-Rumus Barisan dan Deret Aritmatika
Rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika:
U_n = a + (n - 1)b 
Rumus untuk mencari beda :
 
Rumus Jumlah suku ke-n deret aritmatika :

atau  

Rumus Suku tengah barisan aritmatika : 
 
Rumus sisipan 
jika di antara dua buah suku U1, U2, U3, ….Un  disisipkan k buah bilangan sehingga terbentuk barisan aritmetika baru, beda dan banyak suku dari barisan tersebut akan berubah sesuai rumusan berikut. 
beda dan banyak suku dari barisan
Keterangan: 
b’= beda barisan aritmetika baru  
b= beda barisan aritmetika lama 
k= banyak bilangan yang disisipkan 
n‘= banyak suku barisan aritmetika baru 
n= banyak suku barisan aritmetika lama

D. Sifat- Sifat Deret Aritmatika
Suatu deret aritmetika memiliki sifat-sifat sebagai berikut :

E. Contoh dan Pembahasan soal
1. Diketahui : Deret aritmatika: 2, 4, 6, 8, … 
Jawaban : 
a = 2 
b = 4-2 = 2 
Un = a + (n-1) b 
Un = 2 + (35-1) 2 
Un = 2 +   (34).2 
Un = 2 + 68 
Un = 70
2. Diketahui deret aritmetika : 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + … + U10. Tentukan:
a. Suku kesepuluh (U10) deret tersebut 
b. Jumlah sepuluh suku pertama (S10). 
jawaban :

3. Dari suatu barisan aritmetika, diketahui suku ketiga adalah 36 dan jumlah suku kelima adalah 144. Jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah ….
jawaban :
Diketahui : 
\[ U_{3} = 36 \rightarrow a + 2b = 36 \; \; \; (1) \] 
\[ U_{5} + U_{7} = 144 \]
\[ a + 4b + a + 6b = 144 \]
\[ 2a + 10b = 144 \]
\[ a + 5b = 72 \; \; \; (2) \]
Mencari nilai suku pertama (a) dan beda (b):
Eliminasi a dari persamaan (1) dan persamaan (2): 
\[ a + 5b - (a + 2b) = 72 - 36 \]
\[ 5b - 2b = 36 \]
\[ 3b = 36 \; \rightarrow \; b = \frac{36}{3} = 12 \]
Substitusi nilai b = 12 pada persamaan (1) untuk mendapatkan nilai a.
\[ a + 2b = 36 \] 
 \[ a + 2 \cdot 12 = 36 \]
\[ a + 24 = 36 \]
\[ a = 36 - 24 = 12 \]
Jadi, jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah
\[ S_{n} = \frac{n}{2} \left( 2a + (n - 1)b \right) \]
\[ S_{10} = \frac{10}{2} \left( 2 \cdot 12 + 9 \cdot 12 \right) \]
\[ = 5 \left( 24 + 108 \right) \]
\[ = 5 \times 132 \]
\[ = 660 \] 
4. Dari deret aritmatika diketahui suku tengah 32. jika jumlah n suku pertama deret tersebut adalah 672. tentukan banyak suku pada deret tersebut.
jawaban : 
 
5. Jika suku pertama, ke-3 dan ke-6 suatu barisan aritmatika masing-masing adalah b-a,a,36 serta jumlah 9 suku pertama barisan tersebut adalah 180. Maka beda barisan tersebut adalah 
jawaban :
 
6. Diantara bilangan 4 dan 229 disisipkan 74 bilangan sehingga terbentuk barisan aritmatikan. Tentukan beda dan banyaknya suku barisan aritmatika yang terbentuk, kemudian tuliskan suku-suku yang mewakili barisan tersebut.
Jawaban : 
7. Diketahui barisan aritmatika 2, 10, 18, 26. Disetiap 2 suku berurutan barisan tersebut disisipkan 3 buah bilangan, sehingga terbentuk barisan aritmatika baru. Tentukan beda dan banyaknya suku barisan aritmatika baru tersebut dan tuliskan suku-sukunya. 
Jawaban :  

Diposting oleh di

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar (Atom)