DISTRIBUSI POISSON

A. Penjelasan Secara Umum

Distribusi Poisson adalah distribusi probabilitas diskret yang menyatakan peluang jumlah peristiwa yang terjadi pada periode waktu tertentu apabila rata-rata kejadian tersebut diketahui dan dalam waktu yang saling bebas sejak kejadian terakhir. (distribusi Poisson juga dapat digunakan untuk jumlah kejadian pada interval tertentu seperti jarak, luas, atau volume).

Rata- Rata

$$\text{E}(X)=\lambda

E(X)=λ

Varians

Var (X)=λ 

Contoh penerapan distribusi poisson dalam kehidupan sehari hari adalah : 

• Kedatangan Bus 

• Kedatangan Pasien di rumah sakit 

• Jumlah panggilan yang masuk 

• Jumlah kecelakaan 

• Antrian

B. Ciri- Ciri Distribusi Poisson

• variabel yang digunakan adalah variabel diskret,
• percobaan bersifat random/acak,
• percobaan bersifat independen,
• biasanya digunakan pada percobaan binomial dimana n > 50 dan p<0,1

C. Sifat Distribusi Poisson

1. Banyaknya hasil yang terjadi dalam selang waktu atau daerah tertentu tidak terpengaruh    oleh(bebas dari) apa yang terjadi pada selang waktu atau daerah  ingatan
2. Peluang terjadinya suatu hasil (tunggal) dalam selang waktu yang sangat pendek atau banyaknya alam daerah yang kecil sebanding dengan panjang selang waktu atau besarnya daerah dan tidak tergantung pada banyaknya hasil yang terjadi diluar selang waktu atau daerah tersebut.
3. Peluang terjadinya lebih dari satu hasil dalam selang waktu yang pendek atau daerah yang sempit tersebut dapat diabaikan. 

D. Contoh dan Pembahasannya

Contoh 1 

Sebuah toko alat-alat listrik mencatat rata-rata penjualan lampu TL 40 W setiap hari 5 buah. Jika permintaan akan lampu tersebut mengikuti distibusi poisson, berapa probabilitas untuk penjualan berikut :

a. 0 lampu TL

b. 3 lampu Tl

jawaban : 

 Contoh 2

dalam sebuah majalah yang terdiri dari 120 halaman terdapat 80 kata yang salah cetak dan berdistibusi secara acak dalam halaman-halaman majalah tersebut. hitung probabilitas seandainya sebuah halaman majalah tersebut dibuka :

a. tidak terdapat salah cetak

b. 4 kata yang salah cetak 

jawaban :  

 Contoh 3

Ruang gawat darurat sebuah rumah sakit memiliki tingkat kedatangan rata-rata pasien sebanyak 4 orang perhari. kedatangan pasien mengikut proses poisson.

a. berapa probabilitas kedatangan 2 pasien per hari?

b. berapa probabilitas kedatangan 2 pasien sampai pada siang hari saja?

jawaban : 

 Contoh 4

Sebuah toko online mencatat bahwa toko tersebut akan mendapatkan komplain dari 50 pelanggan ketika mengirimkan barang ke 10.000 pelanggan. Jika pada suatu hari toko tersebut mengirim barang ke pelanggannya sebanyak 1.000 barang. Hitunglah peluang toko tersebut mendapat komplain daria. 7 pelanggan,b. 5 pelanggan,c. 2 pelanggan,d. tidak ada komplain,e. lebih dari 2 pelanggan. 

 jawaban :

$p=\displaystyle\frac{50}{10.000}=0\text{,}005.$ Selanjutnya $n=1.000,$ sehingga$\begin{aligned} \lambda&=np\\ &=(1.000).(0\text{,}005)\\ &=5. \end{aligned}$

​

$p=\displaystyle\frac{50}{10.000}=0\text{,}005.$

Dengan demikian

$$P(X=7)a. 

$a.\; P(X=7)$

$\begin{aligned} P(X=x)&=\frac{\text{e}^{-\lambda}\lambda^x}{x!}\\ P(X=7)&=\frac{\text{e}^{-5}5^7}{7!}\\ &=\frac{526\text{,}4021}{5040}\\ &=0\text{,}1044 \end{aligned}$$$P(X=5)b. 

$b.\; P(X=5)$

$\begin{aligned} P(X=5)&=\frac{\text{e}^{-5}5^5}{5!}\\ &=\frac{21\text{,}0561}{120}\\ &=0\text{,}1755 \end{aligned}$$P(X=2)$

$c.\; P(X=2)$

$\begin{aligned} P(X=2)&=\frac{\text{e}^{-5}5^2}{2!}\\ &=\frac{0\text{,}1684}{2}\\ &=0\text{,}0842 \end{aligned}$$$P(X=0)d

$d.\; P(X=0)$

$\begin{aligned} P(X=0)&=\frac{\text{e}^{-5}5^0}{0!}\\ &=\frac{0\text{,}0067}{1}\\ &=0\text{,}0067 \end{aligned}$$P(X>2)$

$e.\; P(X>2)$

$\begin{aligned} P(X > 2)&=1-P(X\leq 2)\\ &=1-\left[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\right]\\ &=1-\left[0\text{,}0067+0\text{,}0337+0\text{,}0842\right]\\ &=1-0\text{,}1246\\ &=0\text{,}8754 \end{aligned}$

 Contoh 5

jawaban : 

 

 Contoh 6

sebuah toko elektronik mencatat bahwa rata-rata penjualan lampu LED sebanyak 4 buah setiap hari. Berapakah peluang pada esok hari akan terjual lampu LED sebanyak :

a. 5 lampu

b. 3 lampu

jawaban :

  

$$n > 50